徒然草

ラッキーＢＩＮＧＯがビンゴしにくくなった気がしませんか？

そもそも一般的なＢＩＮＧＯとは、

　５×５のマス目に数字が印刷された（異なった）カードを参加者に配布し、

　番号が印刷されたボールを暗箱から取り出し、番号を参加者にコールし、

　コールされた番号がカードにあればその番号に「チェック」をつけ、

　チェックが５組一列になるはやさを競うゲーム

です。（下手くそな説明だ…）

ネット上ではビッグローブが実施している４半期に一度のＢＩＮＧＯ大会が有名？

確率の観点では、列を作る組の構成要素は（５）だから、数字が（５）以上公開されないとビンゴは成立しないわけだが、配布されるカードによってはそうならないこともある。

+--+--+--+--+--+
|5a|5b|5c|5d|5e|
+--+--+--+--+--+
|4a|4b|4c|4d|4e|
+--+--+--+--+--+
|3a|3b|3c|3d|3e|
+--+--+--+--+--+
|2a|2b|2c|2d|2e|
+--+--+--+--+--+
|1a|1b|1c|1d|1e|
+--+--+--+--+--+
往々にして3cの場所は「Free」と印刷され、最初から「チェック」をいれてよいことになっている。

さて本題。
ＢＩＮＧＯゲームでビンゴする確率、あるいはビンゴしない確率を求めるにはどうすればよいのだろうか？

もちろん制限、というか、条件は存在するし、必要である。すなわち

『ボールの数＝ボールに印刷された数字が、重複することのない００から９９までの１００個のボール、数』であり、
『ビンゴカードに印刷された２５乃至２４の数字も、重複することのない００から９９までの１００個の数』である

という条件下で、ｘ回（ｘ≦１００）のボールを引いたときにビンゴする確立はいくつ？

といった具合である。誰の目からも明らかなように、ｘ＝１００なら、００から９９までの数字を重複なく１００回引くわけだから、全部の数字を引くことになり、ビンゴする確立は１（必ずビンゴ）である。
ビンゴしない状況を想像すればいろいろなことがわかる。

ビンゴカードに印刷されている２５個の数字のうち、チェックがついていないの１つの場合を思い浮かべてみよう。未チェックが１なら必ずビンゴしている、というか未チェックが４までは必ずビンゴしている。このことからわかるのは、

９９回ボールを引いたときビンゴする確率は１。
９８回ボールを引いたときビンゴする確率は１。
９７回ボールを引いたときビンゴする確率は１。
９６回ボールを引いたときビンゴする確率は１。

ということ。※厳密には、９６回で必ずビンゴしてしまうので、９６回目「までに」ビンゴする確立が「１」ということ。

９５回ボールを引いた場合は、どのように考えればよいのだろうか。
+--+--+--+--+--+
|5a|5b|5c|×|5e|
+--+--+--+--+--+
|4a|×|4c|4d|4e|
+--+--+--+--+--+
|3a|3b|3c|3d|×|
+--+--+--+--+--+
|2a|2b|×|2d|2e|
+--+--+--+--+--+
|×|1b|1c|1d|1e|
+--+--+--+--+--+
引き残している５つの数が、上図の×のようにビンゴとならないパターンを形成していればビンゴとならない。この「場合の数」を全体の「場合の数」から引いてゆけばよい。

全体の場合の数は、
1aに当てはまる数は最大100個（「最大」という制限は、カードによってはa列は19以下の数だったりする場合があるから）、
2aに当てはまる数は最大99個、…
と考えると、

（全体の場合の数）100!/75!

であることがわかる。

これからややこしくなってくるが、ビンゴとならない場合の数である。ビンゴとならない場合の数は、「カード上の数字まで含めたビンゴとならないパターンの総数」だが、これは
「ビンゴとならないパターン」＝（1a,2c,3e,4b,5d）の未チェック位置組を考え、未チェック位置組の各座標に引き残された数字がはいる場合の数を求めればよさそうであるが、どうだろうか。（続く）